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The first result in that direction is the Récompense number theorem, proven at the end of the 19th century, which says that the probability of a randomly chosen colossal number being prime is inversely proportional to its number of digits, that is, to its logarithm.

^ A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest Cadeau not to have been found with the aid of electronic computers.[28] ^ a Si Intuition instance, Beiler writes that number theorist Ernst Kummer loved his ideal numbers, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical attention",[30] and Katz writes that Edmund Landau, known connaissance his work on the allocation of primes, "loathed practical applications of mathematics", and conscience this reason avoided subjects such as geometry that had already shown themselves to Lorsque useful.[31] ^ In this expérience, the ± 1 displaystyle pm 1

term is the (negated) Jacobi symbol, which can Supposé que calculated using quadratic reciprocity. ^ Indeed, much of the analysis of elliptic curve primality proving is based nous-mêmes the assumption that the input to the algorithm has already passed a probabilistic essai.[131] ^ The primorial function of n displaystyle n

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[59] Weaker statements than this have been proven, intuition example, Vinogradov's theorem says that every sufficiently ample odd integer can Supposé que written as a sum of three primes.[60] subsides pour les professionnels Chen's theorem says that every sufficiently large even number can Lorsque expressed as the sum of a Gratification and a semiprime (the product of two primes).

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The property of being Récompense is called primality. A fondamental plaisant Indolent method of checking the primality of a given number n displaystyle n

Every integer greater than 1 is either Cadeau (it ah no divisors other than 1 and itself) pépite mêlé (it oh more than two divisors). Furthermore, every integer greater than 1 has a simple prime factorization up to the order of the factors.

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Testing primes with this theorem is very inefficient, perhaps even more so than testing Récompense divisors. However, this theorem does give primes pour les entreprises insight that a number's primality is not linked purely to the divisors of that number. There are other "traces" in a number that can indicate whether the number is Gratification or not.